Unehelicher Sohn der Dienstmagd Maria Anna Amsieß und des aus Moosheim (Württemberg) stammenden Bierbrauers und Branntweinbrenners Joseph Boller; 1817 durch die Heirat seiner Eltern legitimiert. – Nach Absolvierung seiner Schulausbildung in Krems, die er 1830/31 ebenda bei den Piaristen mit den vorgeschriebenen „philosophischen Studien“ mit Auszeichnung abschloss, nahm B. noch 1831 an der Wiener Universität ein Medizinstudium auf, sistierte dieses jedoch trotz recht erfolgreichen Verlaufs sechs Jahre später kurz vor den Rigorosen, um ab Oktober 1837 an einer Wiener Knabenschule die philologischen Fächer zu unterrichten. Das von ihm dabei für die klassischen Sprachen an den Tag gelegte Engagement beeindruckte den Leiter dieser Anstalt Ignaz Kron so sehr, dass dieser ihm im folgenden Schuljahr das Studium der Hochkultursprache Indiens, des bisher nur an den Universitäten von Bonn (seit 1818), Berlin (seit 1821) und Oxford (seit 1833) und seit 1814 schon am Collège de France in Paris gelehrten Sanskrit, nahelegte. Die sechs folgenden Jahre widmete sich B. intensiv als Autodidakt dieser neuen Aufgabe, wobei er seine philologisch-linguistischen Studien bald auch auf weitere indoarische und die dem Sanskrit nahverwandten altiranischen Sprachen ausdehnen und nebenbei nicht nur das erste medizinische Rigorosum Anfang August 1842 mit gutem Erfolg bestehen, sondern auch die Hof- und Staatsdruckerei bei der Anschaffung und Verwendung indischer u. a. Typen schulen und beraten konnte. Anfang August 1845 hielt B. nach Vorlage seiner Sanskrit-Grammatik als Habilitationsschrift eine erste Sanskrit-Vorlesung zur Probe an der Universität Wien, deren Erfolg ihm zusammen mit der Druckbewilligung für seine Grammatik Ende desselben Jahres die Ernennung zum ersten „Docent der Sanskritsprache“ einbrachte. Die somit erlangte Venia setzte B. im Studienjahr 1846/47 gleich in die Praxis um. Im September 1847 erschien dann – zur Gänze auf Kosten des Autors gedruckt – sein Hauptwerk, eben die „Ausführliche Sanskrit-Grammatik für den öffentlichen und Selbstunterricht“, die mit ihren rein deskriptiven 382 Seiten Franz Bopps bis 1845 noch dreimal überarbeiteten Erstling auf diesem Gebiet (Berlin 1827) in mancherlei Hinsicht klar übertrumpfte. Mit ihr als Visitenkarte wurde B. schon Ende Jänner 1848 zum korrespondierenden Mitglied der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien gewählt und füllte die ersten 25 Bände der „Sitzungsberichte der philosophisch-historischen Classe der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften“ bis nach seiner Ernennung zum wirklichen Mitglied Anfang September 1857 kontinuierlich über ein Jahrzehnt mit gehaltvollen, teilweise frappierend aktuellen Studien und Beiträgen (u. a. zur Verbalstammbildung des Sanskrit, Interpretation altägyptischer Inschriften, Lenierung als Universale der Sprachgeschichte, Morphologie der finnischen Sprachen, Etymologie des Ungarischen und Wortbildung der ural-altaischen Sprachfamilie, der B. auch das Japanische als zugehörig zu erweisen suchte). Im selben Jahrzehnt avancierte B. Ende Juni 1850 zum ao. und fünf Jahre später (Ende Oktober 1855) zum o. Professor für Sanskrit und vergleichende Sprachwissenschaft. Die letzten zehn Jahre seines Lebens scheint B. fast zur Gänze auf seinen akademischen Unterricht und die universitäre Etablierung seiner Fächer verwendet zu haben, und das mit beachtlichem Erfolg; stand doch bei seinem Tod mit dem ao. Professor der orientalischen Linguistik →Friedrich Müller ein Nachfolger bereit, und sein Wiener Student →Alfred Ludwig propagierte seit 1860 B.s Fächer an der Universität Prag. B.s eigenes Vorhaben, ein umfassendes sprachvergleichendes Werk zu schreiben, musste demgegenüber zurückstehen. Von seinem umfangreichen Nachlass wurde postum nur noch eine fast 50-seitige Studie zur Wortbildung der sinotibetischen Sprachen in den „Sitzungsberichten“ vom März 1869 publiziert. So bedauerlich dies war und ist, blieb und bleibt davon doch B.s für die österreichischen Geisteswissenschaften und ihre Entwicklung epochale Bedeutung als Begründer der Sprachwissenschaft und Wegbereiter der Orientalistik an der Universität Wien gänzlich unberührt.